Bayes ‘प्रमेय के दो प्रभाव

रेव अनिश्चितता सिखाता है।

मैं विज्ञान, प्रगति संभव है। वास्तव में, यदि कोई बेयस के प्रमेय में विश्वास करता है, तो वैज्ञानिक प्रगति अनिवार्य है क्योंकि भविष्यवाणियां की जाती हैं और विश्वासों का परीक्षण और परिष्कृत किया जाता है । ~ नेट चांदी

यदि बेयस के प्रमेय सत्य की संभावना है। 9, यह सही होने की संशोधित संभावना क्या है यदि हम पी = .05 पर झूठी होने की परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं? ~ जेआईके

थॉमस बेयस एक अंग्रेजी क्लर्क और गणितज्ञ थे, जो अन्य चीजों के अलावा, भगवान के प्रमाण को खोजने में रुचि रखते थे। वह नहीं कर सका, लेकिन उन्होंने एक ग्रंथ और प्रमेय छोड़ा, जिसे बाद में प्रकाशित किया गया था (बेयस, 1764), जो अब हम बेयसियन के आंकड़ों को कहते हैं उसका आधार बन गया। वैचारिक शर्तों में, बेयस प्रमेय क्या करता है, यह वर्णन करता है कि नए साक्ष्य (अवलोकन, डेटा) के प्रकाश में पूर्व-मौजूदा विश्वास (अनुमान, परिकल्पना, या झुकाव) को अद्यतन किया जाना चाहिए ताकि इस तरह से कोई विरोधाभास न हो। दूसरे शब्दों में, बेयस प्रमेय समेकन की गारंटी देता है और यह धीरे-धीरे विश्वास सटीकता की डिग्री में वृद्धि का वादा करता है। कोई आश्चर्य नहीं कि कई लोग (सांख्यिकीविद, मनोवैज्ञानिक, मशीनिस्ट) प्रमेय को तर्कसंगतता की परिभाषा के रूप में देखते हैं। इस हल्के तकनीकी निबंध में, मैं बेयस के प्रमेय के दो प्रभावों को इंगित करता हूं जो गणित में विशेष रूप से गहरे छिपे नहीं हैं, लेकिन यह अनुसंधान और धर्म के लिए उनकी प्रासंगिकता में गहराई से हैं। लेकिन सबसे पहले हमें प्रमेय की शर्तों को पेश करने की आवश्यकता है और वे एक-दूसरे से कैसे जुड़े हैं (जो प्रमेय का काम रोशनी है)।

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चित्रा 1. बेयस प्रमेय।

स्रोत: जे क्रूगर

चित्रा 1 प्रमेय दिखाता है। सबूत (डेटा के लिए डी), या पी (एच | डी) के आधार पर एक विश्वास (एच यहां पर परिकल्पना के लिए एच) सत्य है, परिकल्पना की पूर्व संभावना के उत्पाद के बराबर है, पी (एच) , यानी, नए डेटा को पेश करने से पहले, और “डायग्नोस्टिक अनुपात”। यह अनुपात डेटा की संभावना है, यह मानते हुए कि परिकल्पना सत्य है, पी (डी | एच), डेटा की कुल संभावना पर, पी (डी ), यानी, सभी परिकल्पनाओं के तहत डेटा की सारांशित संभावना। मामलों को सरल बनाने के लिए ( हाँ! ), आइए मान लें कि केवल एक वैकल्पिक परिकल्पना है, ~ एच, जिसकी संभावना 1 – पी (एच) है। अब हम कह सकते हैं कि पी (डी) = पी (एच) * पी (डी | एच) + पी (~ एच) * पी (डी | ~ एच)। प्रमेय पूरा हो गया है। इस तथ्य की सराहना करने के लिए चित्रा 1 पर फिर से देखें।

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Bayes ‘प्रमेय का पहला निहितार्थ यह है कि आदरणीय सिद्धांत सिद्धांत में सिद्ध भगवान हो सकता है, लेकिन आवश्यक शर्त चरम है। पी (एच | डी) के लिए 1 होना संभव है, लेकिन केवल अगर पी (डी | एच) = 1 और पी (डी | ~ एच) = 0. विश्वास की निश्चितता डेटा की निश्चितता की आवश्यकता होती है। वैकल्पिक अवधारणा के तहत ब्याज की परिकल्पना और असंभव होने के कारण डेटा निश्चित होना चाहिए। जब इस बाद की स्थितियों की जोड़ी पूरी हो जाती है, तो विश्वास की पूर्व शक्ति (भगवान या जो कुछ भी) अप्रासंगिक है। सबूत (यानी, पी (डी | एच) = 1 और पी (डी | ~ एच) = 0 का संयोजन) वकील और संदिग्ध के बीच अंतर को समाप्त करता है।

धर्म के लिए बहुत कुछ। अधिकांश अनुभवजन्य विज्ञान में, असंगत सबूत दुर्लभ है। डेटा शोर और अनिश्चितता के साथ आता है, और परिकल्पनाओं और विश्वासों और धारणाओं का समर्थन वे यथार्थवादी बने रहते हैं। अधिकतर, शोधकर्ता कह सकते हैं कि उनके पास ‘नैतिक निश्चितता’ है कि एक्स सत्य है। नैतिकता प्रसिद्ध रूप से अपूर्ण है, दिमाग में बदलाव के लिए दरवाजा नया डेटा दिया गया है।

Bayes ‘प्रमेय का दूसरा निहितार्थ इस सवाल के लिए प्रासंगिक है कि परिकल्पना के तहत डेटा की संभावना को कितनी अच्छी तरह से गठबंधन किया गया है, पी (डी | एच), परिकल्पना की पिछली संभावना के साथ है, यानी डेटा दिया गया है, पी (एच | डी)। यह प्रश्न अगर उन सभी शोधकर्ताओं के हित में है जो परिकल्पनाओं का परीक्षण करना चाहते हैं और न कि डेटा विश्वसनीय हैं या नहीं। ये शोधकर्ता डेटा से अनुमानों को अनुमानों में आकर्षित करना चाहते हैं। वे पी (डी | एच) का अनुमान लगाने के लिए पी (एच | डी) का उपयोग करना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, उन्हें पूर्ण प्रमेय की आवश्यकता है। उन्हें पी (एच), पी (~ एच), और पी (डी | ~ एच) जानने (या पोस्टलेट) की आवश्यकता है। पी (डी | एच) से पी (एच | डी) में एक अनुमान मजबूत है क्योंकि दोनों शब्द एक दूसरे के साथ सहसंबंधित हैं। सिमुलेशन प्रयोगों का उपयोग करके, हमने पाया कि ये सहसंबंध सकारात्मक हैं, लेकिन उनकी परिमाण अनुमानित तरीकों से व्यापक रूप से भिन्न हो सकती है (क्रूगर एंड हेक, 2017)। यहां हम उन स्थितियों को ढूंढना चाहते हैं जिनके अंतर्गत पी (डी | एच) और पी (एच | डी) समान हैं।

बेयस प्रमेय से पता चलता है कि पी (डी | एच) = पी (एच | डी) अगर और केवल अगर पी (एच) = पी (डी)। अब चलिए पी (डी | एच) = .05 के मामले पर विचार करें, जहां शोधकर्ता, सम्मेलन के बाद, परिणाम को महत्वपूर्ण घोषित करता है। सभी संभावनाओं में, पी (एच | डी) पी (डी | एच) के रूप में कम नहीं होगा, लेकिन यह हो सकता है। आज का सवाल यह है कि इसे बनाने में क्या लगता है? एक छोटे बीजगणित से पता चलता है कि पी (डी | एच) = पी (एच | डी) यदि पी (डी | ~ एच) = (पी (एच) – पी (डी | एच)) / पी (~ एच)। आइए कुछ उदाहरण आज़माएं। चयनित पी (डी | एच) = .05 होने के बाद, हमारे पास ऐसी परिकल्पना हो सकती है जो शुरुआत में न तो विशेष रूप से संभवतः न ही असंभव है, यानी पी (एच) = .5। अब, यदि पी (डी | ~ एच) = .9, हमारे पास पी (एच | डी) = पी (डी | एच) = .05 की हमारी वांछित समानता है। यह एक अच्छी व्यवस्था है। पूर्व विश्वास अधिकतम अनिश्चित है (पी (एच) = .5); परिणाम महत्वपूर्ण हैं (पी (डी | एच) = .05) और वैकल्पिक परिकल्पना के तहत अत्यधिक संभावना (पी (डी | ~ एच) = .9); और शून्य परिकल्पना वास्तव में अस्वीकार्य है (पी (एच | डी) = .05, जिसका अर्थ है कि पी (~ एच | डी) = .95।

अब जब हम इस सबसे अच्छे मामले परिदृश्य से निकलते हैं तो उभरने वाले अधिक परेशान परिणामों पर विचार करें। क्या होगा यदि शोधकर्ता खतरनाक वैकल्पिक परिकल्पना का चयन करता है, यानी, एक मामला जहां पी (एच) उच्च है? यदि पी (एच) = .8, उदाहरण के लिए, पी (डी | ~ एच) 3.75 होना चाहिए ताकि पी (डी | एच) = पी (एच | डी) = .05। एक असंभव परिणाम! Bayes ‘प्रमेय इसे मना करता है। यदि आप जोखिम भरा शोध (पी (एच) उच्च हैं) और सांख्यिकीय महत्व प्राप्त करने के लिए प्रबंधन करते हैं, तो यह गारंटी दी जाती है कि परिकल्पना उतनी ही असंभव नहीं है जितनी डेटा अस्वीकार कर सकती है। पी (एच) = .525, पी (डी | ~ एच) = 1. पी (एच), पी (एच | डी)> पी (डी | एच) के किसी भी उच्च मूल्य के लिए। यह दुविधा का एक सींग है।

जब अनुसंधान सुरक्षित होता है तो दूसरा सींग उभरता है। जब पी (एच) कम होता है, यानी, जब वैकल्पिक या वास्तविक परिकल्पना की संभावना, पी (~ एच), प्राथमिकता अधिक होती है , पी (एच | डी) और पी (डी | एच) की समानता आसानी से होती है प्राप्त किया, लेकिन कीमत के लिए पी (डी | ~ एच) कम है। उदाहरण के लिए, यदि पी (एच) = .1, और दोनों पी (डी | एच) और पी (एच | डी) = .05, तो पी (डी | ~ एच) = .056। यह एक अजीब परिणाम की तरह प्रतीत हो सकता है। एक तरफ, वैकल्पिक परिकल्पना को प्राथमिकता (पी (~ एच) = .9) माना जाता है, जबकि दूसरी ओर यह बहुत ही परिकल्पना डेटा के साथ एक फिट प्रदान करती है जो परिकल्पना के साथ फिट जितनी खराब होती है (एच) जिसे खारिज कर दिया जा रहा है।

कहानी का नैतिक यह है कि बेयस प्रमेय न केवल हमें सुसंगतता सिखाता है, बल्कि यह परीक्षण के लिए मध्यवर्ती संभावनाओं की परिकल्पनाओं का चयन करने के लिए हमारी पूरी कोशिश करने के लिए भी हमें आग्रह करता है (अगर यह बात कर सकता है)। यह यहां है कि अनुभवजन्य शोध सबसे बड़ा पुरस्कार पैदा करता है।

प्रमाण? क्या सबूत? पहले निहितार्थ को लिखते समय (‘सबूत वकील और संदिग्ध के बीच असहमति को समाप्त करता है’) मुझे मेरी हुमेन नींद से बाहर निकाला गया था। डेविड ह्यूम (1764) ने प्रसिद्ध रूप से तर्क दिया ( और साबित हुआ! ) कि आप कटौतीत्मक साधनों से प्रेरण की वैधता साबित नहीं कर सकते (यहां स्टैनफोर्ड विश्वकोष में देखें)। इस बहुत गहरी अंतर्दृष्टि के लिए संक्षिप्त उदाहरण यह है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने कितने सफेद स्वान देखा है, आप यह साबित नहीं कर सकते कि कोई काला हंस मौजूद नहीं है। ऐसा इसलिए होता है जब वहां संभवतः हंसों की संभावित संख्या पर कोई बंधन नहीं होता है। तर्क एक सीमित आबादी में नहीं है। अब हमें यह पूछना चाहिए कि क्या पी (डी | एच) 1 हो सकता है। यदि हम सिद्धांत की भूमि में काम कर रहे हैं, तो गॉसियन (या अन्यथा असंबद्ध) वितरण की उपस्थिति मानते हुए, यह देखना मुश्किल है कि उस पर कैसे जोर दिया जा सकता है डेटा के आधार पर। डेटा – जैसा कि वे एक माप में आते हैं – उनके संख्यात्मक मूल्य में सीमित हैं। इसलिए, एक अधिक चरम मूल्य हमेशा संभव है। इसलिए, इन आंकड़ों या डेटा कम चरम की संभावना 1 से कम होनी चाहिए। इसलिए, मैंने जो तर्क दिया है, अर्थात् बेयस प्रमेय हमें मनाए गए डेटा से कुछ विश्वास निकालने की अनुमति देता है केवल सिद्धांत में मान्य है लेकिन अभ्यास में नहीं है। ह्यूम जीतता है (यहां एक दिलचस्प ऐतिहासिक नोट के लिए देखें जो बताता है कि बेयस के प्रयास ह्यूम को खारिज करने की इच्छा से प्रेरित थे)।

हम डेविड ह्यूम के उद्धरण के साथ समाप्त होते हैं, यह दिखाने के लिए कि महान संदिग्ध व्यक्ति को हास्य का बुरा अर्थ था। “मैंने सभी प्रकार के विषयों पर लिखा है … फिर भी मेरे पास कोई दुश्मन नहीं है; वास्तव में सभी Whigs, सभी सिद्धांतों, और सभी ईसाईयों को छोड़कर “ (यहां पाया गया)।

बेयस, टी। (1764)। संभावनाओं के सिद्धांत में एक समस्या हल करने के लिए एक निबंध । रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन, 53 , 370-418 के दार्शनिक लेनदेन ।

ह्यूम, डी। (1739)। मानव प्रकृति का एक ग्रंथ । ऑक्सफोर्ड, इंग्लैंड: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस।

क्रूगर, जीआई, और हेक, पीआर (2017)। अनिवार्य सांख्यिकीय अनुमान में पी का हेरिस्टिक मूल्य। मनोविज्ञान में फ्रंटियर: शैक्षणिक मनोविज्ञान । https://doi.org/10.3389/fpsyg.2017.00908